CURSOS Y CONFERENCIAS

1. CURSOS 

Sandra Palau  
Título: Procesos de ramificación En el curso iniciaremos definiendo los procesos de ramificación y algunas de sus aplicaciones. 

Veremos propiedades básicas y extensiones a procesos más generales. Terminaremos con un trabajo de investigación reciente. 

Bibliografia 

1. Athreya, K. B., Ney, P. E. (2004). Branching processes. Courier Corporation. 
2. Cardona-Tobón, Natalia, and Sandra Palau. "Yaglom’s limit for critical Galton– Watson processes invarying environment: A probabilistic approach." (2021): Bernoulli, 27(3), 1643-1665. 
3. Harris, T. E. (1963). The theory of branching processes (Vol. 6). Berlin: Springer. d. Harris, S. C., Palau, S., & Pardo, J. C. (2022). The coalescent structure of Galton- Watson trees in varying environments. arXiv preprint arXiv:2207.10923. e. Kersting, G., & Vatutin, V. (2017). Discrete time branching processes in random environment. John Wiley & Sons. 

Maite Fernández  
Título: Comparando operadores lineales y polinómicos en dimensiones finitas e infinitas. 

Los operadores lineales y polinómicos entre espacios de dimensión finita son todos continuos. En espacios de dimensión infinita, sin embargo, la condición de linealidad o el ser polinómico no garantiza la continuidad. Para analizarlos será necesario introducir nuevas herramientas. Partiendo de un estudio comparado con lo que sucede en dimensión finita, el curso se centrará en entender cómo se entrelazan la estructura algebraica y la topológica en estos tipos de operadores. Veremos algunos de los resultados fundamentales de la teoría de operadores lineales y expondremos, luego, una estrategia para abordar el estudio, significativamente más complejo, de las transformaciones polinómicas continuas. Método de evaluación, un pequeño examen al final del curso. 

2. CONFERENCIAS 

Javier Carvajal 
Centro de Investigación en Matemáticas  
Título: Teoría de Galois inseparable: una introducción a la teoría de foliaciones en característica positiva. 

La teoría de Galois clásica nos da un entendimiento profundo sobre las extensiones separables de cuerpos a través de la teoría de grupos. ¿Pero qué pasa en el caso (puramente) inseparable? La respuesta moderna es que hay que remplazar los grupos discretos por grupos en esquemas o, aún mejor, sus espacios tangentes y por ende foliaciones. En este curso daré una introducción a estos temas. 

Miguel Alejandro Xicoténcatl Merino  
Departamento de Matemáticas del Cinvestav  
Título: Algunos Grupos en Geometría y Topología 

Los grupos de Coxeter son subgrupos discretos de las isometrías de $\mathbb R^n$, generados por reflexiones (a través de hiperplanos) y son muy importantes en geometría y topología. Por ejemplo, los grupos diédricos y los grupos de simetría de los poliedros regulares son grupos de Coxeter. Estos grupos están completamente clasificados y tienen presentaciones muy particulares en términos de generadores y relaciones. Más aún, para todo grupo de Coxeter se puede definir una extensión natural conocida como el correspondiente grupo de Artin. Dicha correspondencia generaliza la relación entre el grupo simétrico $S_n$ y el grupo de trenzas de Artin, $B_n$, este último definido como el grupo fundamental del espacio de configuraciones de $n$ puntos distintos en el plano. El objetivo de esta plática es dar una introducción panorámica a la relación entre los grupos de simetría, los grupos de Coxeter y los grupos de Artin. 

Yessica Hernández Eliseo  
Cimat Mérida  
Título: Aproximando funciones usando el Teorema de Stone Weierstrass 

La teoría de aproximación se ocupa del cómo se pueden aproximar las funciones con funciones más simples. Lo que se entiende por simple depende de la aplicación. Por ejemplo, los polinomios y las funciones trigonométricas se han asimilado como funciones sencillas por las propiedades que éstas poseen y las muchas aplicaciones en las que aparecen. En esta línea se tienen los teoremas de aproximación de Weierstrass; uno de ellos y muy importante nos dice que cualquier función continua en el intervalo [a,b] se puede aproximar mediante polinomios en una variable. Más tarde Stone generaliza este resultado para el álgebra de funciones continuas en un espacio topológico compacto Hausdorff . Son varias las generalizaciones que se tienen de los teoremas de aproximación de Weierstrass. Mi ponencia tendrá como objetivo ejemplificar los teoremas de aproximación de Weierstrass tomando el álgebra de matrices con entradas funciones continuas en el intervalo [a,b], es decir, se explicará bajo qué condiciones éstas se puede aproximar mediante matrices con entradas funciones polinomiales, trigonométricas o alguna otra clase de funciones simples. 

Sergio Holguín Cardona  
Título: La geometría compleja y la teoría de Yang-Mills (una visión panorámica) 

Tanto en matemáticas como en física, no ha sido poco frecuente que el desarrollo de algún concepto en una de estas disciplinas del conocimiento, haya estado inspirado o tenido impacto en la otra. En particular, desde finales del siglo XIX y hasta la fecha, dichas “intersecciones de conceptos” han sido cada vez más sofisticadas y justo reconocer su papel dual se ha traducido en una forma eficiente de avanzar. Un ejemplo interesante y moderno de esto último lo conforman la geometría compleja y la teoría de Yang-Mills. La primera es un desarrollo natural de una de las áreas más antiguas de las matemáticas; la segunda es una teoría clave para entender las interacciones fundamentales en física. En esta ponencia se presentará una visión panorámica de ambas, enfocándonos principalmente en algunos periodos históricos, en los cuales ha sido relativamente evidente el surgimiento de conceptos comunes. 

Carlos Cabrera  
Instituto de Matemáticas Unidad Cuernavaca Unam  
Título: Sobre promediabilidad de grupos y semigrupos

La paradoja de Banach y Tarski que afirma que toda esfera puede ser descompuesta en dos conjuntos los cuales pueden ser recompuestos cada uno en una esfera igual a la original es un teorema de alarmante misterio. Con el fin de resolver este misterio, von Neumann propuso el concepto de promediabilidad en grupos. Indicando así una conexión entre la teoría de grupos, la geometría y la teoría de la medida, la cual reside en el ámbito de la teoría ergódica y sistemas dinámicos. En esta, charla revisaremos la paradoja de Banach-Tarski orientada al concepto de promediabilidad en grupos y semigrupos con algunas aplicaciones modernas.